Να αγοράσω;

Θα έχετε αναρωτηθεί, έχοντας τέσσερα φύλλα σε κάποιο χρώμα, τι πιθανότητα έχετε να βρείτε στον τζόγο φύλλο από το ίδιο χρώμα. Ας υποθέσουμε, π.χ. ότι έχετε τέσσερα μπαστούνια. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει μπαστούνι στον τζόγο;

Μια αφελής απάντηση στο παραπάνω ερώτημα θα μπορούσε να είναι:

Ή θα υπάρχει μπαστούνι στον τζόγο, ή όχι, επομένως η πιθανότητα να βρούμε μπαστούνι είναι 50%.

Είναι φανερό ότι με τέτοιου είδους προσεγγίσεις μπορούμε να υπολογίσουμε οποιαδήποτε πιθανότητα στο 50%, ή σε οποιοδήποτε νούμερο μας βολεύει. Θα μπορούσαμε, π.χ. να κάνουμε και τον εξής συλλογισμό:

Υπάρχουν τρία ενδεχόμενα: Να βρούμε ένα μπαστούνι, δύο μπαστούνια, ή να μην βρούμε μπαστούνι στον τζόγο. Επομένως από τα τρία ενδεχόμενα μάς βολεύουν τα δύο, άρα η πιθανότητα να βρούμε μπαστούνι στον τζόγο είναι 2/3, ήτοι 67%.

Το πρόβλημα με αυτού τού είδους τις προσεγγίσεις έγκειται στο γεγονός ότι τα ενδεχόμενα τα οποία απαριθμούμε δεν είναι ισοπίθανα, άρα η πιθανότητα που υπολογίζουμε είναι εν πολλοίς αυθαίρετη. Υπάρχει, όμως, και η επιστημονική προσέγγιση στον υπολογισμό των πιθανοτήτων και μ’ αυτόν τον τρόπο θα επιχειρήσουμε να δώσουμε λύση στο πρόβλημα που μας απασχολεί.

Ο παίκτης που κρατά στο χέρι του τα τέσσερα μπαστούνια, έχει συνολικά 10 φύλλα, επομένως τα φύλλα του τζόγου είναι δύο από τα υπόλοιπα 22 φύλλα της τράπουλας. Άρα υπάρχουν 231 ισοπίθανοι τζόγοι. Αυτό προκύπτει ως το πλήθος των δυνατών συνδυασμών των 22 πραγμάτων ανά 2.

Πράγματι, το πλήθος των συνδυασμών των n πραγμάτων ανά m είναι το γινόμενο

n × (n – 1) × (n – 2) ×… (n – (m – 1))

διαιρούμενο με το γινόμενο

1 × 2 ×… m

π.χ. το πλήθος των 7 πραγμάτων ανά 3 είναι 7 × 6 × 5 δια 1 × 2 × 3, δηλαδή 35.

Μένει να βρούμε πόσοι από αυτούς τους 231 τζόγους περιέχουν μπαστούνι. Αυτό φαντάζει κάπως πιο δύσκολο, αλλά θα το αντιμετωπίσουμε ανάποδα, δηλαδή θα βρούμε πόσοι από αυτούς τους τζόγους δεν περιέχουν μπαστούνι. Αυτό είναι κάπως πιο εύκολο.

Πράγματι, από τα 22 φύλλα που περισσεύουν, τα 4 είναι μπαστούνια, επομένως οι τζόγοι που δεν περιέχουν μπαστούνια είναι αυτοί που διαλέγουμε από τα υπόλοιπα 18. Αυτοί οι τζόγοι είναι 153, ως το πλήθος των συνδυασμών των 18 πραγμάτων ανά 2. Συνεπώς, οι τζόγοι που περιέχουν μπαστούνι είναι 231-153=78.

Έχουμε, λοιπόν, 231 ισοπίθανους τζόγους εκ των οποίων οι 78 περιέχουν μπαστούνι. Άρα η πιθανότητα να βρούμε μπαστούνι στον τζόγο είναι:

78/231 ≅ 34%

συνεπώς η πιθανότητα να υπάρχει στον τζόγο φύλλο στο τετράφυλλο χρώμα μας είναι περίπου μια στις τρεις.

This entry was posted in Εκπαίδευση, Προβλήματα. Bookmark the permalink.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s